Det stora bråket mellan π (pi) och τ (tau)

Lite historia om π (pi) 

π, ett tal som ofta kallas cirkelns konstans, definieras genom att dividera cirkeln omkrets med dess diameter:
        
π = o/d

π är även kallad Arkimedes konstans eftersom Arkimedes (född 287 f.Kr.) var den första som lyckades visa genom geometriska beräkningar att talet π måste ligga mellan bråken 223/71 och 22/7 alltså:

223/71 < π < 22/7

Men vad är det med π som gör det så speciellt?

• π är ett irrationellt tal. Det betyder att π inte är rationellt och således inte kan uttryckas som en kvot av två heltal. π ≠ a/b (där a och b är heltal)
• π är ett transcendent tal. Det betyder att π inte kan uttryckas algebraiskt.
• Tittar vi även på decimalutvecklingen av π uppvisar den inte någon regelbundenhet, trots att decimalutvecklingen fortsätter i oändligheten!

Nu när vi vet några egenskaper kring talet, hur får vi egentligen fram π? Ett sätt är att kolla på relationen mellan cirkeln omkrets och dess diameter. Två andra praktiska sätt är genom gränsvärden eller oändliga summor som approximerar π.

Men du kanske fortfarande undrar vad som gör π så speciellt?

Ett enkelt svar är att π dyker upp i så många områden inom matematiken! I vissa fall är det till synes utan koppling till talets geometriska ursprung. Bara för att nämna några få områden så har π hittats i geometriska samband, inom analysen i integraler, i Eulers identitet och i ändliga serier.

Varför skulle vi inte vara intresserade och fascinerade av π, när det ständigt dyker upp överallt inom matematiken?

Men vad är då τ och vad har det med π att göra?

På senare år har det blivit en hätsk debatt (för den insatta) om π verkligen är det "rätta" talet som dyker upp överallt inom matematiken. Motståndare till π hävdar att den rätta konstanten är τ som definieras av:

τ = 2π

Men vad har det för betydelse? τ är ju relaterat till π och skulle det verkligen göra någon skillnad att byta π mot τ? Ja, vissa hävdar det!

Det som påstås är inte att π är fel aritmetiskt, utan snarare förvirrande, opraktiskt och inte faller ut lika estetiskt fint i formler som τ gör. Nedan ger vi två exempel som motståndare brukar lyfta:

Den rätta cirkelns konstant:
För att få π delar vi omkretsen med diametern. Om vi istället delar omkretsen med radien får vi τ!

Detta anses vara mer korrekt då definitionen av en cirkel använder sig av radien, varför ska inte cirkelns konstant då också härstamma från radien? Ett argument som motståndarna ger är att det är förvirrande och onödigt att byta ut radien mot diametern, då det inte finns någon fördel att göra det.

Det "bättre sättet" att räkna radianer: 
Motståndare till π säger att τ är bättre utifrån ett pedagogiskt perspektiv när vi börjar lära oss vinklar i radianer.

Om vi använder π så är en cirkel 2π radianer, men om vi använder τ är cirkeln τ radianer. τ gör det alltså enklare att förstå vinklars storlek och hur många varv vi går på en cirkel. Har vi till exempel 2τ - då ser vi direkt att vi gått 2 varv. Motsvarande om vi har 4π, då måste vi komma ihåg att vi behöver dela med 2 för att veta att vi gått 2 varv. Förvirrande?

  

 

Det finns ännu fler exempel som argumenterar om varför τ skulle vara den rätta konstanten och varför vi således bör byta ut talet π mot τ.

Vi på Mattecentrum anser inte att det ena är bättre än det andra, vi tycker båda talen är lika bra, fina och fascinerande. Båda har sina fördelar och nackdelar.

Men... om du känner att du är en τ-person, så uppmuntrar vi dig att fira τ-dagen som infaller den 28 juni. Håller du fast vid att π är det rätta talet så firar du π-dagen den 14 mars. 

Vi firar båda dagarna!